ஆரியபடன்

This essay is a Tamil translation of my article about Aryabhata published in The Week magazine, with a few additions.

உலகெலாம் அறிய கணிதம் ஓதினான் ஆரியபடன். கிரேக்க நாட்டு ஆர்க்கிமிடீசு, யூக்லிட், குவாரசம் நாட்டு முகமது பின் மூசா அல் குவாரசமி, ஆங்கிலேயன் ஐசக் நியூட்டன், ஜெர்மானிய கார்ல் பிரடரிக் கவுஸ், சுவிட்சர்லாந்தின் லெனார்ட் ஆய்லர் ஆகியோருக்கு இணையாக ஆரியபடனை கூறலாம். இந்திய விண்ணியலிலும் கணிதத்திலும் ஒரு புது யுகத்தை தொடங்கிவைத்தான். 108 ஆரிய சந்தங்களில் அமைந்ததால் ஆரிய அஷ்டசதம் என்றும் புனைந்த புலவனின் புகழ்கமழும் பெயரால் ஆரியபடீயம் என்றும் இரண்டு பெயர்கொண்ட நூலை இயற்றினான். அந்நூல் அடுத்த ஓராயிரம் ஆண்டுகள் அவ்வழிவந்த ஜோதிட நூல்களுக்கு யாப்பென பொலிந்தது.

விரிந்த விண்ணையும் கடிந்த கணக்கையும் குறளில் புனைந்த முனி.

நியூட்டன், டார்வின், எடிசன், மெண்டலீவ், லவாய்சியர் என்ற பேச்சினிலே புவியீர்ப்பு, பரிணாம வளர்ச்சி, மின்விளக்கு, தனிம வரிசை, நவீன ரசாயானம் என மின்னலடிக்கும் சிந்தையிலே. ஆரியபடன் என்ன செய்தான் என்ற போதினிலே அறியாமையால் சக்தி நழுவும் மூச்சினிலே. பூஜ்யத்தை உலகிற்கு கொடுத்தான் என்ற தவறான பதிலை சிலர் கூறுவர்.

இவன் பெயர் ஆரியபடன். ஆரியபட்டன் அல்ல. பட்டன் என்ற ஸம்ஸ்கிருத சொல் பிராமணனை குறிக்கும். பட என்பவன் பொருநன், படைவீரன். திருவரங்கத்து கோயிலில் ஆரியபடாள் வாசல் ஒன்று உண்டு. திருவரங்கம் கோயிலை இரவில் காக்க நியமிக்கப்பட்ட படையின் பெயரை கொண்டது அவ்வாசல். ஆரியபடனும் சத்திரியனாக இருக்கலாம். அவன் குலக்குறிப்புகள் ஏதுமில்லை.

ஆரியபடனுக்கு முன்

பாரதத்தின் மிகப்பழைய விண்ணியல் நூல் லகதர் இயற்றிய வேதாங்க ஜோதிடம். இதன் காலம் நமக்கு தெரியவில்லை; ஏறத்தாழ கிமு (பொ.யு.மு) 1200 என்று சிலர் கூறுவர். லகதர் ஏன் விண்ணியலை ஆராய்ந்து நூலெழுதினார்? அவரே பதிலளிக்கிறார் – காலதிக்தேச ஞானார்த்தம் : அதாவது ஜோதிடம் பயில்வது காலம், திசை (திக்), புவியமைப்பு (தேசம்) இம்மூன்றையும் அறியும் பொருட்டே (ஞானார்த்தம்). வேதம் விதிக்கும் வேள்விகளை சரியான இடம், நாள், நேரம் அறிந்து செய்வதே கடமையாதலால், ஜோதிடம் அறிபவனே வேதமும் அறிவான் என்றும் லகதர் கூறுகிறார். வேதம் பயில்வோருக்கு உதவும் ஆறு அங்கங்களுண்டு – ஷுல்ப சூத்திரம், ஜோதிடம், ஸீக்ஷம், வியாகரணம், சந்தம், நிருக்தம். இவை ஆறும் வேதாங்கம் என வழங்கப்படும்.

இக்காலத்தில் ஆபஸ்தம்பர், போதாயனர், கத்தியாயனர் தலா ஒரு சுல்ப சூத்திரத்தை இயற்றினர். சுல்ப சூத்திரங்கள் யாகசாலை வடிக்கும் கலையும் கணக்கையும் விவரிப்பவை. சதுரம், வட்டம், அரைவட்டம், எண்கோணம், நட்சத்திரம், கழுகு என்று பற்பல வடிவங்களில் யாகசாலைகள் அமைக்கும் முறையை சுல்ப சூத்திர செய்யுள்கள் விளக்கின.

பதினெட்டு ஜோதிட சித்தாந்த காலம்

லகதருக்கும் ஆரியபடருக்கும் இடையில் ஓராயிரம் ஆண்டுகள் சென்றிருக்கலாம். பல்லாயிர ஆண்டுகளும் சென்றிருக்கலாம். இக்காலத்தில் பதினெட்டு விண்ணியல் சித்தாந்த நூல்கள் பெயர் பெற்றன. சூரிய சந்திர கிரகணங்களின் கோட்பாடுகள், கிரகணங்களை கணிப்பது, வானத்தின் தீர்க ரேகை, அட்ச ரேகை, உஜ்ஜயினி நகரின் சூரியோதய பிரமாணம், ராசிகளின் பயன்பாடு, நாடி விநாடி ஆகிய கால அளவைகளின் பயன் ஆகிய கோட்பாடுகள் இந்திய விண்ணியலில் இக்காலத்தில் தான் வழக்கமாகின. வேள்விகளின் காலத்தை குறிக்கப் பயன்படும் அறிவியல் சாத்திரமாக விளங்கிய ஜோதிடம் மக்களின் எதிர்காலத்தையும், வெள்ளம் புயல் எரிமலை பூகம்பம் போன்ற நட்சத்திரங்களுக்கு தொடர்பற்ற இயற்கை அபாயங்களையும், போர், பஞ்சம், பெருமழை, பயிர்விளைச்சல் போன்ற சமூகம் நிகழ்வுகளை கணிக்கும் கலையாகவும் மாறிய காலமும் இதுவே.

பதினெட்டு சித்தாந்த நூல்களில் ஒன்றுகூட மூலநூலாக இன்று கிட்டவில்லை. இவற்றில் சூரிய சித்தாந்தம், பிதாமக சித்தாந்தம், வசிஷ்ட சித்தாந்தம், ரோமக சித்தாந்தம், பௌலீச சித்தாந்தம் ஆகிய ஐந்து நூல்களை ஆய்ந்து, அவற்றின் தகவல்களையும் கணிதத்தையும் கோட்பாடுகளையும் ஒப்பிட்டு, பஞ்சசித்தாந்திகம் என்று வராஹமிஹிரன் ஒரு நூல் இயற்றினான். அன்னூலிலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளே இந்த ஐந்து சித்தாந்தகளில் நமக்கும் எஞ்சும் செய்யுட்கள். சங்ககாலத்திலும் சங்கமருவிய காலத்திலும் இருந்த சில பழந்தமிழ் இலக்கியங்கள் பல மூலமற்றுப்போய், உரையாசிரியர்களின் எடுத்துக்காட்டில் மட்டும் வாழ்வதுபோலே ஐந்து சித்தாந்த செய்யுட்களுக்கும் கண்ட விதி. மற்ற பதிமூன்று சித்தாந்தகளின் பெயர்கள் மட்டுமே மிஞிசியுள்ளது.

இன்றும் வழக்கில் உள்ள சூரியசித்தாந்தம் இக்காலத்தை சேர்ந்ததாயினும், அந்நூல் பின்னாள்களில் அதிகமாக மாறியுள்ளது என்பதே விண்ணியல் வல்லுனரின் பரவலான கருத்து.

ஆரியபடீயம்

கி.பி(பொ.யு) ஐந்தாம் நூற்றாண்டில் ஆரியபடன் குசுமபரம் எனும் பாடலிபுத்திரத்தில் வாழ்ந்தவன். அவனை பற்றி நாம் அறிவதெல்லாம் அந்த நூலிலோ பின்வந்த ஜோதிடரின் நூல்களிலோ கிடைக்கும் தகவல்கள் மட்டுமே. தன் இருபத்தி மூன்றாம் வயதில், கிபி 499இல் ஆரியபடீயத்தை இயற்றினான்.

நூலின் முதல் பகுதி தசகீதிகை. (தமிழில் பத்துப்பாட்டு - தச என்றால் பத்து. கீதம் என்றால் பாட்டு). இவை விண்ணியல் அளவுகளை குறிக்கும் செய்யுட்கள். கீழ்காணும் ஐந்துவித அளவுகள் இதில் அடக்கம்.

·         சூரிய சந்திர கிரகங்களின் சுற்றுவட்டப்பாதை

·         ஒரு யுகத்தில் எத்தனை ஆண்டு, ஒரு கல்பத்தில் எத்தனை யுகம், ஒரு மனுவில் எத்தனை கல்பம்

·         அபமண்டலித்தினூடே கிரகங்கள் திரியும் பாதை (Deviation of planets from the ecliptic)

·         வக்கிர கிரகங்களின் வக்கிர வட்டங்கள் (epicycles)

·         ஜ்யா வரிசை என்னும் நாண் வரிசை (Sine table)

தசகீதிகையின் முதல் செய்யுள் பிரம்மனை வணங்கும் கடவுள் வாழ்த்து. ஆரியபடன் ஒரு விஞ்ஞானி, ஆனால் ஆன்மிகவாதி, நாத்திகனல்ல.

நூலின் இரண்டாம் பகுதி ஆரிய அஷ்டசதம் (ஆரிய சந்தத்தில் நூற்றியெட்டு செய்யுட்கள்). இதை மூன்று அதிகாரங்களாக பிரித்துள்ளார் : கணிதம், காலகிரியை, கோளம்.

இவற்றுள் கோளம் பகோளம் என்னும் வானத்தை குறிக்கும், பூகோளத்தை அல்ல.

முதல் அதிகாரம் - கணிதம்

கணிதம் கற்பித்த முறை இன்று போல் அன்று இல்லை, அன்று போல் இன்று இல்லை. நமக்கு பழக்கமான + -  * / எனும் கூட்டல் கழித்தல் பெருக்கல் வகுத்தல் குறிகள் கிபி பதினைந்தாம் நூற்றாண்டில் ஜெர்மனியில் அறிமுகமாயின. இச்சின்னங்கள் ஏதுமில்லாமலே பல்லாயிரம் ஆண்டுகள் உலகெங்கும் கணிதம் பயின்றனர். இந்த வாக்கியத்தை மீண்டும் படித்து புறிந்து கண்பிதுங்கி சிந்தை கலங்கி குழப்பத்தை முழுங்கி நொந்து வெந்து நூலாகி மீண்டு வர ஓரிரு நிமிடங்களை எடுத்துக்கொள்ளவும்.

பாரத மரபிலும் ஜோதிட நூல்களில் கணிதம் சமங்களை சொல்லவில்லை. ஸ்லோக வடிவ செய்யுள்களையே கூறின.

ஆரியபடன் ஒரு செய்யுளை பரிசீலிப்போம்.

            த்ரிபுஜஸ்ய பலஷரீரம் ஸமதளகோடி புஜார்த ஸம்வர்க

இது வேள்வியில் ஓதும் மந்திரம் போல் ஒலித்தாலும், ஒரு கணித உறவையே நவில்கிறது. புஜம் என்பது கை. த்ரிபுஜம் மூன்று கை – அதாவது முக்கோணம். ஷரீரம் பரப்பளவுக்கு கலைச்சொல். ஸமதளகோடி சென்குத்து. அர்த பாதி. புஜார்த கையில் பாதி. ஸம்வர்க பெருக்கலுக்கு கலைச்சொல். ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்து உயரத்தை ஒரு பக்கத்தின் பாதியால் பெருக்கினால் அதன் பரப்பளவு கிடைக்கும், என்பதே செய்யுளின் பொருள்.

இதைப்போன்றே வர்கமூலம், கனமூலம், வட்டத்தின் பரப்பளவு, கோளத்தின் கொள்ளவு, பிரமிடின் கொள்ளளவு, எண் தொடரின் கூட்டல் போன்றவற்றை கணக்கிடும் விதிகளை ஆரியபடீய கணித அதிகாரம் செய்யுட்கள் உள்ளன. ஜோதிட கணக்குகளுக்கு இவை தேவை என்பதால் ஆரியபடன் இவற்றை ஆராய்ந்து தொகுத்தான்.

இரண்டாம் அதிகாரம் - காலக்கிரியை

இன்று நேரத்தை டிகிரி, நிமிடம், விநாடி என்று ஐரோப்பிய முறையில் பகுக்கிறோம். ஆரியபடன் நேரத்தை கலா, நாடி, விநாடி என்று அன்று நிலவிய பகுதிகளை விளக்கினான். வட்டமும் நேரத்தை போலவே நாடி, விநாடி என்று பகுக்கப்படும், என்றும் நவின்றான்.

வர்ஷ த்வாதஷ மாஸா: த்ரிம்ஷத் திவஸோ பவேத் ஸ மாஸ: து |

ஷஷ்டி நாட்யா திவஸ: ஷஷ்டி ச  விநாடிகா நாடீ ||  1 ||

பொருள்  வருடம் (வர்ஷ: ) பன்னிரண்டு மாதம். மாதம் (மாஸ) முப்பது நாட்கள். நாள் அறுபது நாடி, நாடி அறுபது விநாடிகள்

பத விளக்கம் மாஸா: மாஸத்தின் பலர்பால் கிளவி. நாட்யா: நாடியின் பலர்பால் கிளவி. திவஸ என்பது நாள். த்ரிம்ஷத் முப்பது. ச, து அசைச்சொற்கள்.

குரு அக்ஷராணி ஷஷ்டி: விநாடிகா: ஷட் ஏவ வா ப்ராணா: |

ஏவம் காலவிபாக: க்ஷேத்ரவிபாக: ததா பகாணாத் || 2 ||

பொருள்  அறுபது நெடிலெழுத்து ஒலிக்கும் நேரம் ஒரு விநாடி. அவற்றில் (நெடில்) ஆறு ஒரு ப்ராணம் (மூச்சு). இந்த கால வகுத்தலைப் போலவே வானமும் வகுக்கப்படும்

பத விளக்கம் குரு – நெடில்.  அக்ஷரம் – எழுத்து. ஷட் – ஆறு. ப்ராணா – மூச்சு. ஏவம் – போல. ததா – அவ்வாறே. க்ஷேத்ரம் – தளம். பகா – வானம். (பகாணாத் என்பது பகா எனும் வேர்சொல்லின் ஐந்தாம் வேற்றுமை).

சவண தினம், திதி, நட்சத்திரம், மாதம், வருடம் ஆகிய கால அளவுகள் விண்ணில் சூரிய சந்திர கிரகங்களின் வட்டபாதைகளால் எவ்வாறு கணிக்கலாம் என்றும், கிரகங்களின் தூரங்களையும், வர்க நடைகளையும் இந்த அதிகாரம் கூறுகின்றது.

பின்னொரு செய்யுளில் தன் காலத்தையும் விளம்பினான்.

ஷஷ்டி அப்தானாம்: ஷஷ்டி: யதா வியதீதா: த்ரய: ச யுகபாதா: |

த்ரயதிகா விம்ஷதி அப்தா: ததேஹ மம ஜன்மனோ அதீதா:  || 10 ||

பொருள்  அறுபது ஆண்டுகள் அறுபது முறை கழிந்து மூன்று யுகபாதங்களும் எப்பொழுது கடக்குமோ, அப்பொழுது நான் பிறந்து இருபத்திமூன்று ஆண்டுகளும் கடக்கும். அதாவது கலியுகம் தொடங்கி 3600 ஆண்டுகள் கடங்தால், எனக்கும் 23 வயதாகும் என்பதே பொருள். கலியுகம் மகாபாரத போர் முடிந்தது தொடங்கியதாக வழக்கு. இக்கணக்கின் படி, ஆரியபடன் பிறந்த வருடம் கி.பி. 476.

பத விளக்கம் அப்த – ஆண்டு.  த்ரய – மூன்று. யுகபாதா –யுகத்தின் கால் பகுதி. த்ரயதிகா – மூன்று அதிகம். விம்ஷதி – இருபது. மம – என். ஜன்மனோ – பிறவி. இந்திய மரபில் க்ருத, த்ரேத, த்வாபர, கலி என்பவை நான்கு யுகங்கள். ஆனால் ஆரியபடன் இவற்றை யுகபாதங்கள் என்றும் நான்கும் சேர்த்ததே ஒரு யுகம் என்று விளம்பினான். இதை மற்றவர்கள் ஏற்கவில்லை.  ஒரு நூற்றாண்டுக்கு பின்வந்த பிரம்மகுபதன் கடுமையாக சாடினான்.

மூன்றாம் அதிகாரம் - கோளம்

முதல் இரண்டு அதிகாரத்து அடிப்படையில் விண்ணியல் கோட்பாடுகளை விளக்கும் அதிகாரம். ஆங்கிலேய ஆட்சியில் லண்டன் அருகே உள்ள கிரீன்விச் எனும் ஊரை உலகின் பிரதான தீர்க ரேகையாக அவர்கள் நிறுவினர். ஆனால் அதற்குமுன் வைதீக மரபாயினும் சமண மரபாயினும், இந்திய ஜோதிடர்கள் உஜ்ஜயினி நகரத்தையே பிரதான தீர்க ரேகையாக கருதினர். ஆரியபடீயம் அதை கடைபிடித்தது. இவ்வதிகாரத்தில் விளங்கும் சில முக்கிய தகவல்கள்:

·         பூமியின் நிழலால் சந்திர கிரகணமும், சந்திரனின் நிழலால் சூரிய கிரகணமும் உண்டாகின்றன.

·         சில யந்தர குறிப்புகள்

·         கிரகணங்களின் நேரங்கள்

·         ராசிகளின் உதயம்

·         மேரு, வடவாமுகம், த்ருங்மண்டலம், த்ருக்ஷேபமண்டலம் ஆகிய சில நுட்பமான விண்ணியல் தகவல்கள்.

ஆரியபடனுக்கு பின்

           

ஆரியபடீயத்திற்கு ஓரிரு நூற்றாண்டுகளுக்கு பின் பாஸ்கரன், சோமேஷ்வரன் ஆகியோர் உரைகளை எழுதினர். தொல்காப்பியத்திற்கும் திருக்குறளுக்கும் நாலாயிர திவயபிரபந்தத்திற்கும் சில நூற்றாண்டுகளுக்கு பின்னர் இயற்றப்பட்ட உரைகளே தமிழர்களுக்கு உவமையாக தோன்றும். ஆரியபடின் சில செய்யுட்களை இவ்வுரையின்றி இன்னாளிலும் நாம் புரிந்துகொள்வது அரிது.

கிரேக்க கணிதர்களுக்கு நிரூபணம் முக்கியம். இந்திய ஜோதிடர்கள் பொதுவாக நிரூபணங்களை எழுதவில்லை. ஆரியபடனும் எந்த நீரூபணமும் தரவில்லை. தன் காலத்தில் நிலவிய சித்தாந்த நூல்களின்  சில கொள்கைகளை மாற்றி, பிழைகளை சீர்திருத்தி,          தன் ஆய்வுகளின் பலன்களை கூறியதில், புனிதங்களை அவமதிப்பதாக சிலர் கண்டித்தனர். ஆனால் ஆரியபடனின் பேரறிவை அவர்களால் மறுக்கமுடியவில்லை. அவன் நூலை ஒதுக்கவிலலை.

குறிப்பாக, ஒரு நூற்றாண்டுக்கு பின் வந்த பிரம்மகுப்தன், ஆரியபடனை கடுமையாக சாடினான். அதில் சில சாடல்கள் நியாயமானவை. பிராம்மஸ்புட சித்தாந்தம் என்னும் நூலை இயற்றி, அதில் எதிர்மறை எண்கள், முழு எண்கள், பூஜ்யத்தின் இயல்பு, இயற்கணிதம் என்ப் பற்பல புதியவை புனைந்தான். ஆரியபடன் செய்த சில பிழைகளை திருத்தினான்.

இன்று உலகெங்கும் பள்ளியில் பயிலும் கணிதத்திற்கு அடிக்கல்லை நட்டவன் பிரம்மகுப்தன்.

இந்தியாவில் ஜோதிடம் இரண்டு மார்கங்களாக பிரிந்தது; ஒன்று ஆரியபடன் வழி தொடர்ந்தது, மற்றொன்று பிரம்மகுப்தன் வழி. பன்னிரண்டாம் நூற்றாண்டில், பாஸ்கராச்சாரியன் பிரம்மகுப்தனின் மார்கத்தை தொகுத்து சீரமைத்து சித்தாந்த சிரோண்மணி என்ற நூலை இயற்றினான்.  இதன் பின் பாஸ்கரன் வழியே இந்திய ஜோதிடத்தின் மையவழியானது. கேரளத்தில் மட்டும் ஆரியபடன் வழிவந்த கருத்துக்களை  பரமேஷ்வரன் என்ற ஜோதிடன் தொகுத்து, த்ருக்கணிதம் என்ற நூலை தழுவி சென்றது. இதன் பின்னரும் ஆரியபடீயத்திற்கு உரைகளை நீலகண்ட சோமயாஜி, சூர்யதேவ யஜ்வன் அகியோர் இயற்றினர். ஆங்கிலேயர் ஆட்சியில் ஆங்கிலத்திலும் மொழிபெயர்த்தனர். மதறாஸ் மாகணத்து ஆளுனர் நேப்பியர் துரையின் முன்னோர் ஜான் நேப்பியர், மடக்கை (logarithm) என்னும் புதுமையை புனைந்தவர். தன் முன்னோரின் வாழ்க்கை வரலாறையும், கணிதத்தின் வரலாறையும் நேப்பியர் துரை எழுத விரும்பினார், என்று எழுத்தாளர் நரசையா கூறியுள்ளார். பாரதமே கணிதத்தின் தாய்நாடு என்று நேப்பியர் துரை கருதியதால், ஆளுனர் பதவியை ஏற்றுக்கொண்டு, தன் கணித வரலாற்று நூலை இயற்ற ஏதுவாக இருக்கும் என் கருதினாராம்.

ஐந்தாம் நூற்றாண்டும் முதல் பதினைந்தாம் நூற்றாண்டு வரை இந்தியாவில் விண்ணியலும் கணிதமும் சீராக திகழ்ந்தன. ஆரியபடனின் நூலும் பிரம்மகுப்தனின் நூலும் அரபு தேசங்களுக்கு சென்று அரபுமொழியில் மறு அவதாரம் எடுத்தன. க்வாரிசம் நாடில் பிறந்து பாக்தாதில் வாழ்ந்த முகமது பின் மூசா அல் க்வாரிஸ்மி என்னும் கணித மேதை இயற்றிய கிதாப் இ முக்காபலா அல் ஜாபர் என்ற நூல் குறிப்பிடத்தக்கது. அல்-ஜாபர் அல்ஜீப்ரா என்றும் அல்-க்வாரிஸ்மி அல்காரிதம் என்றும் மருவியுள்ளன. அல்-க்வாரிஸ்மி காலத்தில் இந்திய எண்கள் அரபு நாட்டில் புழக்கமாயின. பூஜ்யம் அறிமுகமானது.

பிற்காலத்தில் அரபுநாட்டில் வணிகம் செய்ய வந்த இத்தாலிய வியாபாரி லியோனார்டோ பிபொனாச்சி இந்திய எண்களையும் பூஜ்யத்தையும் ஐரோப்பாவில் அறிமுகம் செய்தான். ரோமானிய எண்கள் சரியத் தொடங்கி, ஐரோப்பிய கணிதத்தின் மறுமலர்ச்சி பூத்தது.

நூல் குறிப்பு

1.    த ஆரியபடீயம் (The Aryabhateeyam ஆங்கிலம்), வால்டர் யூஜீன் கிளார்க், சிகாகோ பல்கலைக்கழகம், கிபி1930.

2.    ஆரியபடீயம் (Aryabhateeyam ஆங்கிலம்), கே.வி.சர்மா, கே.சி.ஷுக்லா, இந்தியதேசிய அறிவியல் கழகம், புதுதில்லி, 1976.

3.    இந்திய விண்ணியலின் சில முகங்கள் (Facets of Indian Astronomy ஆங்கிலம்), கே.வி.சர்மா, ஸ்ரீ சாரதா கல்வி கழகம், (Sri Sarada Educational Society)அடையாறு, சென்னை.

இந்த கட்டுரை 2015இல் தெ வீக் பத்திரிகையில் வெளிவந்த என் கட்டுரையின் தமிழாக்கம். மேலும் சில தகவல்களையும் இதில் சேர்த்துள்ளேன். 

1. ஹேவிளம்ப புத்தாண்டு - விண்ணியல் குறிப்புகள்
2. வராகமிஹிரரின் கிரகண சான்று 
3. வராகமிஹிரரின் அகத்தியர் துதி
4. திருவாதிரையும் அகத்தியனும்
5. வியாழம் எழ வெள்ளி உறங்கிற்று
6. கோயில்களில் விண்ணியல் சிற்பங்கள்
7. சில விண்ணியல் ஸ்லோகங்கள் – பொருள் விளக்கம்
8. மகாவீரரின் கணித கனிரசம்
9. சைலகேது
10. நீலகண்ட சோமசத்துவரின் சிலேடை