Aryabhata

The Genius and the Myth

He ranks with Archimedes, Euclid, Isaac Newton and Leonard Euler as one of the greatest mathematicians of the world. He began a new epoch in Indian astronomy and mathematics, that continued for more than a millenium. His book Aryabhateeyam is a masterpiece of brevity and eloquence.

But what did Aryabhata actually do? Aryabhata did NOT invent zero; or gravity; or the heliocentric system. As I wrote in my first essay, even Indian mathematics and Sanskrit scholars are stunningly ignorant of Aryabhata’s actual accomplishments. Since we are equally ignorant of almost all of ancient India’s glories, this is not specifically galling; just generally abysmal. Only Bhaskara was perhaps as popular and admired, but unlike Newton’s apple or Watt’s tea kettle, or the anecdotes of Birbal or Tenali Raman, we don’t even have popular legends about him. But we are so creative, we blame the British for this situation, decades after they left.

Ever computed a square root? Aryabhata.
Cube root? Aryabhata.
Summed up a series of numbers? Aryabhata.
Series of squares? Aryabhata.
Divided by a fraction by multiplying by its inverse? Aryabhata.
Computed the areas of triangles, circles, trapeziums? Aryabhata.
Calculated sines? Aryabhata. 

And that’s just the simple mathematics we learn in school.

Wait! Did he invent ALL of these? Ah, that’s the question. Aryabhata himself claims not a single invention. He explicitly states that “by the grace of Brahma, the precious jewel of knowledge (jnana-uttama-ratnam) has been extracted from the sea of true and false knowledge (sat-asat-jnaana-samudraat), by the boat of my intellect (sva-mati-navaa).” As Euclid compiled five centuries of geometrical discoveries of the Greeks, Aryabhata compiled several centuries of mathematical and astronomical discoveries of Indians.

Sulba sutra and Jain mathematicians knew how to compute, square roots, but Aryabhata was the first to describe the algorithm. We don’t know if cube roots were calculated earlier, his algorithm is the oldest extant. His sine calculations are considered much superior to those listed by Varahamihira. His kuttakara algorithm to find solutions is considered ingenious even today.

It is not feasible to explain his mathematical and astronomical discoveries in a magazine article for the general reader. There are excellent translations, technical papers, books that do that. This essay’s purpose is to provoke you to read them, and marvel at Aryabhata’s sva-mati-navaa. And to place Aryabhata and his work in historical context.

Manuja Grantham

The eighteen siddhantas were attributed to rishis. But every jyotisha siddhanta after Aryabhata and Varahamihira, is attributed only to men, not rishis. These arose from commenting, understanding, questioning, correcting, improving existing siddhantas and inventing or discovering new concepts. There was no fear or taboo against criticizing a mere manuja like Aryabhata or Bhaskara, rather than a rishi. This era of Mathematics and Astronomy is called “Classical” by historians. I prefer VarahaMihira’s phrase Manuja Grantha.

मुनिविरचितमिदमिति यच्चिरन्तनं साधु न मनुजग्रथितम् ।
तुल्येऽर्थेऽक्षरभेदादमन्त्रके का विशेषोक्तिः ॥१–३॥ – बृहत्संहिता

muni-viracitam-idam-iti yat-cirantanam saadhu na manuja-grathitam
tulye-arthe-akshara-bhedaad-amantrake ko viSheshokti – BrihatSamhita 1-3

 Translation This (idam) is muni-uttered (muni-viracitam) so sacred (cirantanam) and good (saadhu). Not (na) so manuja-grathitam (man-composed) it is said (iti). If it is not a mantra (amantraka), and meaning (artha) is equal (tulye) but words different(akshara-bhedaa), what’s wrong (vishesha) with it?

Philosophically, this verse by Varahamihira, is as insightful and expressive as Kalidasa’s verse puraanamityeva na saadhu sarvam(Not everything is excellent, simply because it is ancient). 

Aryabhateeyam

The phrase Kusumapure abhyaarcitam gnaanam (knowledge respected in Kusumapura), in Aryabhateeyam hints that he lived in Kusumapura (Pataliputra or Patna). No biography or portrait of any Indian astronomer exists. The pictures of Aryabhata pervading the internet, as well as his statue, are merely artists’ imaginations. Almost all we know about him comes from his books and those of his critics and commentators, like Brahmagupta and Bhaskara I, who mentions Pandurangasvami, Latadeva and Nishanku, as pupils of Arybhata.

He composed:

(1) Aryabhateeyam in 499AD when he was 23 years old. Multiple copies survive in full form.

(2) Aryabhata Siddhanta, which is lost, and known only by quotations from commentators. In this book, Arybhata advocated midnight as the starting hour of each day, instead of sunrise, perhaps based on Surya or Romaka Siddhanta. Aryabhateeyam uses sunrise as day-beginning.

I confine this essay to Aryabhateeyam. It consists of two parts. The first, Dasha Geetika (Ten Songs), lists astronomical constants:

·        Orbital periods and Diameters of Sun, Moon, Planets

·        Number of years in a yuga, yugas in a kalpa, kalpas in a manu

·        Deviation of planets from the ecliptic

·        Epicycles, in different quadrants

·        Table of Sine differences.

 

His first verse is a salutation to Brahma - he was a scientist, but not an atheist. Almost every jyotisha who followed him begins his work with a salutation to his favorite God. Jain mathematician Mahavira begins with an invocation to his namesake, the tirthankara Vardhamana Mahavira. It may also indicate that he was updating the Paitamaha (Brahma) siddhanta, some of whose data, had become obsolete.

The second part, called AryaAshataShatam (i.e The 108 Arya verses) consits of three chapters – Ganita (Mathematics), Kaala Kriyaa (Calculating Time), and Gola (Sphere – i.e. Celestial, Sphere meaning the visible universe).

The siddhantas of later jyotishas were each nearly a thousand verses long. What Aryabhata summaries in one or two verses is explained by them with whole chapters. So cryptic and compact was Aryabhateeyam, it was impossible to understand without bhashyaas (commentaries); such was its impact, that bhaashyaas were written on it centuries after others improved upon his methods. Telugu Marathi and Malayalam commentaries followed those in Sanskrit, Arabic etc; and English translations in the colonial period, which range in appreciation from astonishment to incredulity to calumny.

1.    Ganita - Mathematics

The mathematics set forth by Aryabhata is mostly practical, not theoretical: its primary purpose is astronomy. I mention only simpler concepts in this essay.

It also varies from extremely simple to extremely complex statements, hypotheses, and algorithms.

We must understand that mathematics was not taught to school children, then as it is today; it was perhaps the most advanced of technical subjects and confined to specialists.  Arithmetic symbols familiar to us like + - x ÷ = were only introduced in fifteenth century Europe. Mathematics was not expressed in equations, but in slokas.

Aryabhata gives two line slokas like this:

त्रिभुजस्य फल शरीरं समदलकोटी भुजार्ध संवर्गः

Tribhujasya phala shareeram samadalakoti bhujaardha samvargaH.

 Bhuja means Arm. Tribhuja means three-armed or Triangle.

Translation “Multiplication (SamvargaH) of perpendicular(Samadalakoti) and half (ardha) the base(Bhuja) results (phala) in Triangle’s (Tribhuja-sya) area(Shareeram).”

A similar verse(sloka) defines the area of a circle as its half-perimeter (or half-circumference) multiplied by its half-diameter (radius) 

This is a simple algorithm, just a formula really, to calculate one value, based on known parameters. A more complex version is his algorithm for summation of a series, which includes several calculations, including for the mean of the series, and encoding an alternate algorithm! This way of stating multiple mathematical formulae is called muktaka by Bhaskara I.

Kaalakriyaa – Time

Aryabhata divided time and circles  with the same geometric units as earlier siddhantas. His major departure, was to define the four yugapadas namely krta, treta, dvaapara and kali, as of equal time; and as the time it took all the nine planets to align, or complete an integral number of revolutions around the earth. He included a biographical note, that 3600 years passed between the beginning of Kali yuga (end of Mahabharata war) and the twenty-third year of his birth. This implies that the constants in DashaGitike were based on his personal observations in that year.

This differed from the smriti definition of the first three yugapadas as four, three and two times as long as the kaliyuga, and offended the orthodox of everyone. Even his followers didn’t accept this division, but they followed his computations and algorithms, as they were significantly better than those of earlier siddhantas.

Gola – Celestial Sphere

Arybahata states that Solar and Lunar eclipses are shadows of the Moon on Earth and Earth on the Moon, respectively. He also stated that the  Sun is the only source of light, and not just planets, but even the stars only reflect sunlight.

Kadamba flower

Aryabhata used the metaphor of a kadamba-pushpa-grantha,  to explain how people and creatures in all parts of the world believe they are standing on top of the world. He introduced another metaphor, for Earth’s rotation: consider a boat-rider on the Ganga, who feels trees on the shore pass him by; whereas, in reality it is the boat that is moving. Similarly Aryabhata suggested, the earth actually rotates, and like trees on a river bank, the stars seem to revolve around it. But it was only a metaphor, not a proof.

He also explains such concepts as Ascencions of the Zodiac, Sine of Ecliptic etc. which are too technical for this essay.

The impact of Aryabhata was phenomenal. Even fervent critics could not ignore him or his works. But he launched an era of manuja grantham, and he was followed by a long line of brilliant scholars, whom we will discuss next.

-----------
This essay was first published as part of a series in Swarajya
For the entire series click this link --> Indian Astronomy and Mathematics   

References

1.      The Aryabhateeyam by Walter Eugene Clark, University of Chicago, 1930.

2.      Aryabhatiyam, translated by KV Sarma and KC Sukla, Indian National Science Academy, New Delhi, 1976.

3.      Facets of Indian Astronomy, KV Sarma, Madras.

Related Links

My blogs on Astronomy and Mathematics

Aryabhata 2025 - ghana citi - Formula for sum of series of cubes

Aryabhata's ghana citi for 2025

Most of us studied not only numbers, but also series of numbers and sums of series in school in mathematics. I am sure most people remember, that the sum of the series from 1 to any number N is given by the formula N*(N+1)/2.

In other words, 1+2+3+4…..+N =  (N * (N+1))  /2

In some school mathematic text books, the name of Carl Friedrich Gauss, the great German genius, is mentioned in association with this series. It seems a German teacher asked his class of nine or ten year olds, what is the sum of the first hundred natural numbers. And Gauss, who was in this class quickly responded, 5050. When asked how we calculated it so quickly, Gauss responded, that he added the smallest and largest numbers 1 and 100, which came to 101; then he added 2 and 99 the second smallest and second largest numbers, which also came to 101; next 3 and 98, then 4 and 97, also each adding to 101. He realized that there were 50 such pairs, each adding to 101, so the sum is 50 times 101 which is 5050. Gauss went on to do amazing things in mathematics, and became one of the greatest mathematical geniuses the world ever saw.

Nice story. Every student and teacher can relate to it. Why don’t we have such stories about Indian mathematicians, except for the famous taxi number 1729 of Ramanujan?

While some formulae in mathematics have names attributed to their inventors or discoverers, there are several mathematical formulae that remain anonymous. All the formula that have names in either physics or mathematics have European or American scientist or mathematician’s names. So, we have Pythagoras theorem, Newton’s formula, Einstein’s formula, Euler identity, and so on. Have you ever wondered why? Why is this Gauss story told without mentioning that Aryabhata gave us this formula for sum of series?

We also learnt that Indians invented zero – we are wrongly told that Aryabhata invented zero. No, Aryabhata did not invent zero. Zero was at least a few hundred years old before Aryabhata was even born. Besides Aryabhata at least Bhaskara is famous as a great mathematician in India. Why do we never learn about some Aryabhata theorem or Bhaskara formula.

Also, even if Aryabhata discovered or invented zero, he must have invented something else also?

Let us discuss one set of things Aryabhata presented, which are given in school textbooks throughout India and the world without mentioning his name. Aryabhata gave not just the formula for the sum of series of numbers, he gave formula for the sum of series of squares and the sum of series of cubes.

In Sanskrit books, the word citi is used for series. Citi  (Sanskrit चिति Tamil சிதி) is literally the word for series of bricks with which a yagna or fire altar for Vedic rituals is made. Aryabhata uses these terms for these formulae

citi: for sum of series of numbers  (1+2+3+4… +N) = N*(N+1)/2

varga citi: for sum of series of squares (1^2 + 2^2 + 3^2+ 4^2 …. + N^2) = N*(N+1)*(2N+1)/6

ghana citi: for sum of series of cubes (1^3 + 2^3 + 3^3+ 4^3 …. + N^3) = (N*(N+1)/2)^2

Varga (वर्ग வர்க) and ghana (घन கன)are the words used in most Indian languages for square and cube. Varga moola and ghana moola are the words used for square root and cube root – incidentally Aryabhata also gave us algorithms to calculate varga moola and ghana moola, but that is a topic for another day.

We learn these formulae in school with Greek notations, invented by European mathematicians in the 18^th and 19^th century like sigma for sum.

Interestingly the sum of the series of the cubes upto 9, that is, 1^3 + 2^3 + 3^3+ 4^3+…9^3 is equal to 2025, which is the Christian year that comes up shortly. I am sure social media will be full of posters and jpegs and gifs and short videos telling you this interesting fact, and perhaps bated breath narrations of Gauss. And zero mention of Aryabhata. So, here is Aryabhata wishing you a happy 2025.

Ironically Aryabhata knew nothing about this Christian calendar adopted in Constantinople and the Roman empire, a few decades before he was born. He used the Kali Yuga notation in his book on astronomy, giving his own year of birth as 23 years before the 3600^th year of the Kali calendar. As 499 AD is Kali year 3600, historians of mathematics believe he was born in 473 AD. In the Kali yuga calendar 2025 is the year 5126 – I am sure enterprising mathematicians will come up with interesting ways to compute this number using Aryabhata’s various formulae.

Related Links

Other essays about Indian Mathematics and Astronomy

My essay in The week magazine on Aryabhata

My essay in Swarajya magazine about Aryabhata

Aryabhata -  CSIR NiScPR Posters

Varahamihira's Gravity and Sphericity

In the Vedic era preceding the Era of the 18 Siddhantas, the earth was thought to be flat. The Puranas and Smritis mention a mountain Meru, sacred and gigantic, in the middle of the earth. Deva Loka was on top of this mountain, the Devas lived on it. Asuras lived beneath our world, in Naraka Loka or Paatala Loka, also called Vadavaamukha. Meru was surrounded by four continents, Kuru to the north, Bhadrashva to the east, Bharata to the south and Ketumala to the west.

Not only Hindus, but Buddhists and Jains also seem to have accepted this concept. In their religions also, Indra, Brahma etc are significant divine beings, who live on Meru, which is an immense sacred mountain.

Meru and continents

The belief is also captured in a beautiful verse in the Tamil epic, Silappadikaaram:

ஞாயிறு போற்றுதும் ஞாயிறு போற்றுதும்
காவிரி நாடன் திகிரிபோல்
பொன்கோட்டு மேரு வலம் வருதலான்.
 “nyaayiRu poTruthum, nyaayiRu poTrudum,
kaaviri naaDan tigiripol pon koTTu meru valam varudalaan.” 

Translation Salutations (potrudhum) to the Sun (nyaayiRu); who goes around (valam varudalaan) golden mountain (pon koTu) Meru, like the wheel (tigiri) of the Chola (“kaaviri naaDan”, Lord of Kaveri country).

Gola - Earth as Sphere

At some unknown time, astronomers across the world realized that the earth was a sphere. They also realized that the sky was different from the space beyond it, and sky and space were also spheres. Perhaps an individual proposed it; perhaps a group of people discovered it and discussed the idea and it spread. What literature survives doesn’t mention this historical discovery or its acceptance. The astronomical texts referred to earth as BhuGola (Bhu is Earth; Gola means sphere). The sky (kha) was thence called KhaGola; and the realm of stars (Bha) beyond it, BhaGola.

The astronomers of this period seemed to not bothered to refute the earlier flat-earth model, but simply remapped some aspects to their new understanding. So they called or redefined Meru as the North pole of  the spherical earth (still considered DevaLoka, Abode of the Devas) and Vadavamukha as South pole (abode of the Asuras).

The spherical earth presented a new conceptual challenge. What did the earth stand on? If the earth were a sphere, how did people not fall off the sides of the sphere? How did people or animals stay put on the lower half? Would they be upside down? A similar ideological challenge must have affected Greek and Chinese astronomers. Not until Newton in the 17^th century, was the concept of gravity proposed to explain planetary motion. This gravity was explained as a property of mass, though why it was so, could not be explained even by Newton. A generation before Newton, the French philosopher Rene Descartes proposed a vortex based theory of gravity. Newton’s theory became the accepted one, until Einstein’s relativistic theory of gravity overturned it.

Indian astronomers explained this away with metaphors.

Aryabhata compared the spherical earth with a kadama flower, which has a spherical centre. The buds, of a kadamba flower point outwards and their stalks point inwards; similarly explained Aryabhata, the legs of men and land animals and sea creatures point inward (toward the centre of the earth) and their heads point outward (towards the sky).

kadamba pushpa

Varahamihira used two better metaphors. The spherical earth is surrounded by a cage of stars, he said, inspiring a vision of a bird in a spherical metal cage. The earth is able to float in space, like an iron (loha) ball between two magnets (kantha), he continued. This is a scientific explanation with metaphors using common objects of his time.

पञ्च महाभूतमयस् तारागण पञ्चरे मही गोलः
खेऽयस् कान्तान्तः स्थो लोह इवा वस्थितो वृत्तः ॥ १३–१ ॥
Panchamahaa bhutam ayas taaragaNa panchare mahee golaH
Khe ayas kaanta-antaH stho loha ivaa vastitho vruttaH
 

Translation Composed of five elements(pancha mahaa bhutam), among the cage (panchara) of stars(taara), stands (stoh) the earth(mahee), as a globe(golaH), like (iva) a ball of iron (loha) between magnets (kaanta-antaH)

Cage of Stars - Taara gana panchara

Varahamihira added that like a lamp’s flame always points skywards, and any object thrown upwards falls to earth, people also walk about on earth with their heads skywards and feet on the ground.

गगनमुपैति शिखिशिखा क्षिप्तमपि क्षितिमुपैति गुरु किञ्चित् ।
यद्वदिह मानवानामसुराणां तद्वदेवाधः ॥ १३– ४ ॥  Pancha Siddhantika 13-4 ॥
gaganam-upaiti shikhi-shikaa kshiptam-api kshitim-upaiti guru kincit
yadvad-iha maanavaanaam-asuraaNaam tadvadeva-adaH
 

Translation The flame (shikhaa) of a lamp(shikhi) points skywards (gaganam) and a heavy (guru) object (kincit) thrown (kshiptam) skywards falls back to earth (kshiti); this happens in the lands of men (maanavaanaam) and asuras (asuraaNaam)

This is as close as we get to an Indian theory of Gravity from Varahamihira – that heavy things fall to earth naturally. 

Newton’s concept gravity is much more ingenious and bold : it is not about planets but all objects: a brick exerts gravity on another brick, a tree on another tree, and of course celestial bodies on each other. But such a concept was not proposed by anyone before Newton, even Galileo or Copernicus or Kepler, leave alone the ancient Greeks like Euclid or Ptolemy.

Both Aryabhata and Varahamihira then quipped that Devas living on the north pole (Meru) and Asuras on the south pole (Vadavamukha) considered the other group as beneath them, punning on geography and social status. 

Whether the general public accepted these explanations or even heard of them is doubtful. Artists continued to depict the earth as a lady, Bhudevi in sculpture and painting, and her worship went on as usual. No one went on pilgrimages to Meru.

The Surya Siddhanta, composed unknown centuries before Aryabhata and Varahamihira, doesn’t even explain such matters. It talks about spherical earth, its longitudes and latitudes, the equator, gives the diameter of the sun and moon, explains calculations of their speed of revolution around the earth, uses geometry and trigonometry to explain their shadows and length and duration of eclipses; and gives several algorithms to calculate, predict, eclipses, star-planet conjunctions etc. Surya Siddhanta is explained as the revelation of astronomy by Surya Deva to an asura called Maya; very similar to the revelation of Vedas to the rishis during their meditations. So the spherical model was conceived, propagated and accepted among astronomers before composition of Surya Siddhanta. The other siddhantas compared by Varahamihira also don’t seem to have any explanation.

Was sphericity an idea borrowed from Greeks? It is plausible, maybe even probable. European writers assume they are, without bothering to prove so. Did the Greeks borrow the idea from the Babylonians? Again possible, but European writers don’t even mention this possibility. Can we completely rule out the possibility that Indians did not discover it on their own? No. Greek and Roman astronomers were well respected, as Varahamihira states. Romaka (name afted Rome or Roma) and Paulisa probably Paulus Alexandrinus of Alexandria, are among the 18 rishis to whom their eponymous siddhantas are attributed. But there are no books in the Greek language attributed to them. A lot of astronomy and mathematics attributed to Greeks like Ptolemy, Archimedes and Euclid are not found in Indian astronomy.

Rotation and Refutation

Aryabhata asserted that the earth rotates and the stars only seem to revolve around it. He used a metaphor for this also: just like a passenger in a boat on the Ganga feels like the trees on the shore are moving backward, rather than that the boat was moving forward, he said, so does the earth rotate from west to east, but people feel as though the sky and stars rotate westward.

This assertion, was dismissed not only by Brahmagupta and Varahamihira but even by his ardent admirers and commentators through the succeeding centuries. Perhaps because he was only a man, not a rishi – hence his composition was only a manuja grantha.

If Aryabhata’s rotation theory were correct, countered Varahamihira, in Pancha Siddhantika, Chapter 13, how would any falcon or other bird ever return to its nest? For the earth would have moved a great distance while the bird was flying. Flags would always stream westward due to the wind produced by the very fast moving earth. If the refutation was that earth moves slowly, how would it revolve such a great distance within a day? Varahamihira stated that the earth’s circumference is 3200 yojanas, about 25,000km as a yojana is 8km.

Someshvara, an eighth century commentator of Aryabhatiyam, went much further. If the earth revolved, he said, oceans will flood all the lands, and tops of trees and castles woud be blown away by the storm of the wind caused by such a ferocious speed of rotation. So, he concluded, the earth does not rotate.

So they didn’t understand inertia, or frame of reference for motion. But given the facts and theories at their disposal, these were scientific rejections of Aryabhata’s conjecture, not superstitious or theological objections. This is only discernible to those who study all the original material; most accounts make it seem that Aryabhata’s rotation conjecture was scientific and the others stubborn and unscientific in their rejection.

Historically, this is similar to Lord Kelvin’s rejection of Darwin’s theory of Evolution, which dated life on earth to 500 million years. Kelvin, calculated that the Sun composed of Hydrogen, could have a maximum life of only 300 million years based on chemical combustion of hydrogen to produce heat. The Sun’s true age was confirmed with Einstein’s mass-energy equivalence, nuclear physics, Bohr’s atomic model and such associated phenomena in physics (nothing in biology).

Aryabhata’s rotation conjecture is untenable without a theory of intertia and Newtonian or even Cartestian gravity. Darwin’s age of earth and life predictions were untenable without a nuclear theory of the Sun’s heat generation and subsequent long age of Sun and Earth.

Further Aryabhata and all other Indian astronomers, stated that the entire celesital sphere, gruhams and nakshatram, revolve around the earth from East to West, propelled by a celestial wind called pravaha. Here Aryabhata seems to contradict himself. Either the earth rotates and therefore it appears that stars  revolve; or the stars revolve, with no need for the earth’s rotation. Can he have both?

Varahamihira’s simple metaphor seemed to suffice for Indian astronomers. I wonder if European, Arab  or Chinese astronomers  gave a similar metaphor to explain away spherical earth.

Consequences of the Spherical Model

The spherical model of the earth led to the realization that shadows of the moon and earth cause eclipses. Varahamihira gave a clear explanation of how and why this happens, with an explicit refutation of the Rahu story (see link below).

Sphericity was important, perhaps even more so, than gravity. The development of geometry and triogonometry and understanding about the regularity of planetary orbits, culminated in the ability to predict eclipses; and later star-planet conjunctions. India led the world for a thousand years in this field because of this.

This is also why Lord Napier, a governor of Madras presidency, came to India to write a history of Mathematics, because he thought India was the birthplace of mathematics. It is notable that he was the descendant of John Napier, who invented Logarithms.

They also set Ujjain as the locus of the Prime Meridian (a role now played by the Greenwich Meridian) and all Indian astronomical calculations were based on the Ujjain meridian or at the point where the Ujjain meridian crossed the Equator.

There is an inherent understanding that both the equator and Ujjain meridian would be each be zero degree – something only Indians could use, having invented the zero. Arabs borrowed this zero a few centuries after Aryabhata (around 850 AD, during the time of Abbassid Caliph al Mamun) and Europeans mainly via Leonardo Fibonacci, a Venetian businessman who learnt it from visiting Baghdad in the thirteenth century. But the Ujjain meridian precedes Aryabhata and Varahamihira, as it is a fundamental factor in the Rishi Siddhantas.

It is an atrocity that these basic scientific concepts, Indian discoveries to be proud of, are not in our school or college books, and that most Indian scientists are unaware of these. These are low hanging fruit.

Related Essays

Varahamihira’s eclipse proof

My essays on Astronomy

Tamil podcast on Varahamihira

Update 10 July 2025 Here is the YouTube link for my lecture Sphericity and its consequences, where I explain adoption of spherical model of earth and its mathematical and astronomical consequences 

This is the YouTube link for an earlier lecture Moon Rise to Masala Dosa

 

Indian Science Festival - Hyderabad

I will deliver a talk titled "Varahamihira's Eclipse Proof" at the Indian Science Festival, Hyderabad, at 11am this Saturday 21st January 2023. At Nucleus Arena.

Entry is free to public. Click here for Registration, schedule  

I will also conduct a workshop on Aryabhata's square/cube roots algorithms at 12pm on Sunday January 22. Limited seats. 

Addendum Feb 24: I wrote an essay summarizing some of what I heard at ISF, Hyderabad and it was published in SouthFirst magazine. Read it here!

In 2020, Badri Seshadri and I presented talks on Indian Mathematics titled The Men who knew Zero to Infinity at ISF Pune. Video links are below:

Part 1 : R Gopu

Part 2 : Badri Seshadri

இந்திய கணிதம் - தகவல் இதழ்கள்

CSIR (சி.எஸ்.ஐ.ஆர் ) என்னும் நிறுவனத்தின் ஒரு கிளை NIScPR (தேசிய அறிவியல் கொள்கை பரப்புக் கூடம்) அறிவியல் தகவல்களை பரப்பிவருகிறது. அதில் சுவஸ்திக் என்ற ஒரு திட்டத்தின் கீழ சமீபத்தில் இந்திய கணித மரபை உரைக்கும் தகவலிதழ்களை (போஸ்டர்/சுவரொட்டி) தயாரித்துள்ளனர். அவர்களுக்கு என் மனமார்ந்த நன்றி. மேலும் இதுபோல் மேலும் பல தகவல் இதழ்களை வரும்நாட்களில் உருவாக்குவார்கள்.

நான் சில மாதங்களுக்கு முன் எழுதிய கட்டுரைகள் இந்த தகவல்களுக்கு அடித்தளமாக அமைந்தன. சில மாதங்களுக்கு முன் தமிழில் இந்திய கணித வானியல் மரபை ஒரு பாடதிட்டமாக வகுத்து, வராகமிகிரன் அறிவியல் மன்றத்தில் நாங்கள் நடத்தியது நினைவிருக்கலாம்.

இந்திய அறிவியல மரபை பற்றி ஆர்வலர் அறிய, இதை நீங்களும் பகிரலாம். 

இங்கே இந்த இதழ்களின்  டுவிட்டர் பகிர்வு

இங்கே இந்த இதழ்களின் முகநூல் பகிர்வு 

ஆரியபடன் - தமிழ் கட்டுரை

இந்த வலைப்பூவில் என் கணித கட்டுரைகள்

Indian Mathematics posters

The National Institute of Science Communication and Policy Research (NIScPR) at CSIR has created and released a few posters on Indian mathematics to promote awareness.

They have shared them on Twitter 

Here are the posters : they are about the contributions of Aryabhata. I hope they are useful to enthusiasts. My essays about Aryabhata as part of a series in Swarajya, give more details about his contributions. 

A podcast on Aryabhata with Moumita Mazumdar of CSIR NiScPR

Indian Mathematics - Introductory series: Swarajya magazine

Aryabhata - essay in The Week magazine

My Blog essays on Indian Mathematics and Astronomy

உஜ்ஜயின் தீர்கரேகை

இந்திய கணித-ஜோதிட வரலாற்றை ஐந்து பருவங்களாக பிரிக்கலாம். ஜோதி என்ற சொல் நட்சத்திரங்களை குறிக்கும். இதில் ஜோதிடம் என்று நான் சொல்வது வானியல் அல்லது விண்ணியல் என்னும் நட்சத்திர மண்டல ஞானம், சூரிய சந்திர பாதை கணிதம், பஞ்சாங்க நிர்ணயம், கிரகண கணிதம் போன்றவையே. கல்யாண பலன், ராசி பலன், மங்கள நேரம், தகும் பொழுது தகா பொழுது, ராகுகால யமகண்ட தவிர்ப்பு போன்றவை சமூகத்தையும் மக்களின் செயல்களையும் அதிகம் வழிநடத்தினாலும், அவை அறிவியல் பூர்வமானதல்ல என்ற என்னுடைய அனுமானத்தாலும், வராகமிகிரரை தவிற மற்ற முக்கிய ஜோதிட நூலாசிரியர்கள், அவற்றை கையாளவில்லை என்பதாலும், அவற்றை பற்றி நானேதும் எழுதிலேன்.

கீழேயுள்ளது, கே.வி. சர்மா போன்றோர் எழுதிய நூல்களில் நான் கற்றதை வைத்தும், ஆரியபடன், வராகமிகிரன், பிரம்மகுப்தன், பாஸ்கரன் போன்றோர் நூல்களின் மொழிப்பெயர்ப்புகளை படித்தும் நான் என் வசதிக்கும் புரிதலுக்கும் வகுத்த பிரிவே. அங்கீகரிக்கப்பட்ட வகுப்புகள் அல்ல.

வேத காலம்	வேத பருவம்
கிமு 1200 / கலியப்தம் 1900 (ஏறக்குறைய)	வேதாங்க ஜோதிட பருவம்
கிமு 500 – கிபி 500 / கலியப்தம் 2400 – 2900	சித்தாந்த பருவம்
கிபி 500 – கிபி 1700	ஆரியபடன் பருவம்
கிபி 1700 – இன்று வரை	ஐரோப்பிய பருவம்

வேத காலத்தில் நிலைத்த வேதத்தை தவிற பிற இலக்கியங்களோ வர்லாற்று தொன்மைகளோ மிஞ்சவில்லை, அதிலுள்ள வானியல் செய்திகள் மிக மிக குறைவே. வேதாங்க ஜோதிடம் என்ற நூல் லகதர் என்பவரால் இயற்றப்பட்டது. முப்பத்தைந்து சுலோகங்களே கொண்டது. ரிக், யஜுர் வேதங்கள் இரண்டிற்கும் தனித்தனியே வேதங்க ஜோதிட நூல்களிருந்தன, ஆனால் ஓரிரு சுலோகங்களில் மற்றுமே வேறுபட்டன. இதன் காலம் கிமு1200 என்று கணிக்கப்பட்டுள்ளது. அந்த நூலில் எந்த கால விகிதமோ ஆண்டு குறிபோ இல்லை. லகதரை பற்றி தகவல்களும் ஏதுமில்லை.

சித்தாந்த பருவம் என்பது, 18 ஜோதிட சித்தாந்தங்கள் நிலவிய காலம். இதில் ஐந்து சித்தாந்தங்களை ஒப்பிடும் நூலே வராகமிகிரரின் பஞ்சசித்தாந்தம். இவை பதினெட்டும் வானியல் சித்தாந்த நூல்கள், மத, இலக்கிய, தத்துவ சித்தாந்த நூல்களல்ல. இவை வகையே பிராம்ம சித்தாந்தம் (பைதாமஹ சித்தாந்தம் என்றும் பெயருண்டு), வாசிஷ்ட சித்தாந்தம், பௌலீச சித்தாந்தம், ரோமக சித்தாந்தம் (லோமச சித்தாந்தம் என்றும் பெயருண்டு), சூரிய சித்தாந்தம் (சௌர சித்தந்தம் என்றும் பெயருண்டு).

புராணங்களில் மேரு மலை எண்பத்திநாலாயிரம் யோஜனைகள் உயரம். தட்டையான பூமியின் நடுவே ஓங்கி நிற்கும் மலையே மேரு. தலைகீழ் கூம்பாக, அதாவது அடிவாரத்தில் கூர்மையாகவும், மேலே தட்டையாகவும் விளங்கும் மலை மேரு. அதன் உச்சியில் தேவலோகம் உள்ளது, தேவர்கள் அங்கே வசிக்கின்றனர். மேரு மலையடிவாரத்தில் தாமரை இதழ்களை போல் நாலுபுரமும் நாலு கண்டங்கள் உள்ளன; வடக்கில் குரு; கிழக்கில் பாத்ராஷ்வா, தெற்கே பரதம், மேற்கே கேதுமாலா. இந்த படத்திலுள்ளது போல் பூமியை கருதினர். இது ஒரு கருத்து; வேறு சில புராணங்கள் பூமியை வேறுவிதமாக கருதி வர்ணித்தன.

மேரு மலையும், கண்டங்களும்
புராண கால பூமியின் வர்ணனை

படம்: ர. விஸ்வநாதன்

புராண காலத்தில் யோஜனை என்பது எத்தனை தூரம் என்று தெரியவில்லை. ஆனால் ஆரியபடர் ஒரு யோஜனை எட்டாயிரம் ந்ரு [ नृ ] என்கிறார். ஒர் ந்ரு என்பது ஒரு நரன், அதாவது, மனிதனின் உயரம் என்பது உரையாசிரியர்களின் விளக்கம். இது ஒரு தெளிவான அளவில்லை; கணிதத்தில் பல புதுமைகள் தந்து, ஒரு புதிய பருவத்திற்கே காரணமாயிருந்த ஆரியபடர் ஏன் இப்படி தெளிவற்ற அளவை தருகிறார் என்று தெரியவில்லை. ஒரு மனிதனின் உயரம் ஒண்றரை மீட்டர் என்று எடுத்துக்கொண்டாலும், ஒரு யோஜனை சராசரியாக பன்னிரண்டு கிலோமீட்டர். இந்த கணக்கில் எண்பத்திநாலாயிர கிமீ உயர மேரு மலை பூமியை விட பல மடங்கு பெரிதாக இருக்கவேண்டும். புராணங்கள் குறிப்பிடும் ஒரு யோஜனை எவ்வளவு என்று தெரியவில்லை. [அளவுகள் காலாகாலம் மாறிவந்தன; உதாரணத்திற்கு வேதாங்க ஜோதிடத்தில் ஒரு யுகம் ஐந்து சூரிய ஆண்டுகளே; ஜோதிட நூல்களிலோ ஒரு யுகம் 4,32,000 சூரிய ஆண்டுகள்.] மேரு மலையை சூரிய சந்திர நட்சத்திரங்கள் சுற்றிவருகின்றன, இந்த மிகப்பெரிய மேருவுக்கு பின்புரம் சூரியன் செல்வதால் இரவு உண்டாகிறது என்பதும் புராண மரபு. விந்திய மலை வளர்ந்து சூரியனை தடுத்த கதையும், அகத்தியனுக்காக நின்றதும், இம்மரபை சார்ந்ததே.

இதை ஆரியபடர் கண்டுகொள்ளவே இல்லை. வட துருவத்தை அவர் மேரு என்று கூறி அது ஒரு யோஜனை உயரமே என்றும் கூறிவிட்டு, அதன் உச்சியில் தேவர்கள் வாழ்வதை மட்டும் மறுக்காமல் அவர் ஆரியபடீயத்தில் எழுதியுள்ளார். தான் புராணத்திலிருந்து மாறுபடும் விளக்கமோ, மேரு மலையை நேரில் பார்த்தாகவோ, எந்த நூலோ சாட்சியோ ஆதாரம் தரவில்லை. புராண மரபை இவ்வாறு ஆரியபடர் மறுப்பதால் நூறாண்டு பின்வந்த பிரம்மகுப்தர் இவரை மிகவும் சாடுகிறார்; ஆனால் அவரும் விளக்கமேதும் தரவில்லை.

பூமி ஒரு கோளம், அதாவது உருண்டை, தட்டையல்ல, என்பதை ஆரியபடர் ஒரு உவமையால் விளக்குகிறார். ஆரியபடீயத்தின் கோளம் என்ற மூன்றாம் அத்தியாயத்திலுருந்து நான்கு சுலோகங்களை காண்போம்.

यद्वत् कदम्बपुष्पग्रन्थिः प्रचितः समन्ततः कुसुमैः ।

तद्वद्धि सर्वसत्त्वैर्जलजैः स्थलजैश्च भूगोलः ॥ 8 ॥

யத்³வத் கத³ம்ப³புஷ்பக்³ரந்தி²꞉ ப்ரசித꞉ ஸமந்தத꞉ குஸுமை꞉ .
தத்³வத்³தி⁴ ஸர்வஸத்த்வைர்ஜலஜை꞉ ஸ்த²லஜைஶ்ச பூ⁴கோ³ல꞉ [8]

விளக்கம் எவ்வாறு(யத்³வத்) கதம்பபுஷ்ப கொத்து(க்ரந்தி) எங்கும் சமமாக(ஸமந்தத) விளங்கி, அதன் மொட்டுக்கள் எல்லாதிசையிலும் மேல்நோக்கி நிற்கின்றனவோ, அவ்வாறே(த்தவத்), பூகோளத்தில் நிலவாழ்(ஸ்த²லஜை:) நீர்வாழ்(ஜலஜை꞉) உயிர்கள் எல்லா திசையிலும் மேல்நோக்கி வாழ்கின்றன என்கிறார். இந்த உவமைக்கு புவியீர்ப்பு சக்தி என்று ஒரு விளக்கம் தேவையில்லை என்பதை காண்க.

ஆனால் இது உவமை தான், அறிவியல் பூர்வமான விளக்கமில்லை என்றும் காண்க. பூமி ஒரு கோளம், உருண்டை என்பதற்கு, கிரகண நிழல்களின் வட்ட வடிவத்தை கண்டும் காட்டியும், வராஹமிஹிரரே சரியான அறிவியல் ரீதியான விளக்கமளித்தார்.

கதம்ப மலர்

स्वमेरू स्थलमध्ये नरको बडवामुखं च जलमध्ये ।

अमरामरा मन्यन्ते परस्परमधःस्थितान् नियतम् ॥ 12 ॥

ஸ்வமேரூ ஸ்த²லமத்⁴யே நரகோ ப³ட³வாமுக²ம்ʼ ச ஜலமத்⁴யே .
அமராமரா மன்யந்தே பரஸ்பரமத⁴꞉ஸ்தி²தான் நியதம் [12]

விளக்கம் நிலம்சூழ்ந்த (ஸ்தலமத்யே) வடதுருவம் தேவலோகம்(ஸ்வ) மேரு, நீர்சூழ்ந்த (ஜலமத்யே) தென் துருவம் நரக படவாமுகம்; இது அசுரர் வாழுமிடம், என்கிறார் ஆரியபடர். இருதுருவ நிலங்களிலும் வாழும் தேவரும்(அமரா) அசுரரும்(மரா) ஒருவரை ஒருவர் (பரஸ்பரம்) தங்களை விட கீழே (அத:) இருப்பதாக (ஸ்தி²தான்) கருதுகின்றனராம் (மன்யந்தே).

उदयो यो लङ्कायां सोऽस्तमयः सवितुरेव सिद्धपुरे ।

मध्याह्नो यवकोट्यां रोमक विषयेऽर्धरात्रं स्यात् ॥ १३ ॥

உத³யோ யோ லங்காயாம்ʼ ஸோ(அ)ஸ்தமய꞉ ஸவிதுரேவ ஸித்³த⁴புரே .
மத்⁴யாஹ்னோ யவகோட்யாம்ʼ ரோமக விஷயே(அ)ர்த⁴ராத்ரம்ʼ ஸ்யாத் [13]

விளக்கம் இலங்கையில் சவித்துர் (சூரியன்) உதிக்கும்போது, சித்தபுரத்தில் அஸ்தமனம். யவகோடியில் மத்தியானம், ரோமகவிஷயத்தில் அர்த்தராத்திரி (நள்ளிரவு மட்டுமல்ல, சரியாக நடு இரவு).

ரோமக என்பது ரோமாபுரி, விஷயம் என்பது நாடு. சித்தபுரம் யவகோடி எந்த ஊரையோ நாடையோ குறிக்கிறது என்பது காலப்போக்கில் அற்றுப்போன செய்தி. அன்னிய வணிகர், பயணிகள் சொல்லும் செவிவழி செய்தியாலோ இன்று கிட்டாத புத்தகம் போன்ற சான்றோ அக்காலத்தில் நிலவி இன்று மறைந்திருக்கலாம். 

படம் : சானக்கிய நீதி யூட்யூப் வீடியோவிலிருந்து

ஆனால் இலங்கை இன்றைய ஸ்ரீலங்கா இல்லை. இது அடுத்த வரிகளில் தெளிவு.

स्थलजलमध्याल्लङ्का भूकक्ष्याया भवेच्चतु्भागो ।

उज्जयिनि लङ्कायाः तच्चतुरंशे समोत्तरतः ॥ १४ ॥

ஸ்த²லஜலமத்⁴யால்லங்கா பூ⁴கக்ஷ்யாயா ப⁴வேச்சது்பா⁴கோ³ .
உஜ்ஜயினி லங்காயா꞉ தச்சதுரம்ʼஶே ஸமோத்தரத꞉ [14 ]

விளக்கம் நிலநீர் நடுவே உள்ள இலங்கை (ஸ்த²லஜலமத்⁴யால்லங்கா) பூகக்ஷ்யத்தை நான்கு பாகமாய் (சது்பா⁴கோ³) பிரிக்கிறது. இலங்கை முதல் வடதுருவம் வரையுள்ள இதன் பகுதியை உஜ்ஜயின் நான்கில் ஒரு அம்சமாக (சதுரம்ʼஶே) வகுக்கிறது.

கக்ஷ்யா என்பது சுற்றுவட்டம். பூகக்ஷ்யா என்பது பூமியை சுற்றும்வட்டம். ஆங்கிலத்தில் இதன் பெயர் மெரிடியன். ஈகுவேட்டர் என்னும் பூமத்தியரேகைக்கு, வடமொழியில், குறிப்பாக ஜோதிட நூல்களில் விஷுவத் என்பது மற்றொரு பெயர்.

வடதுருவம் முதல் தென் துருவம் வரை பூகோளத்தின் மேல் ஒரு கோடு வரைந்து, அதை அந்த கோளத்தின்மேல் மறுபக்கம் மீண்டும் வடதுருவம் வரை வரைந்தால் அது பூகக்ஷ்யா எனும் மெரிடியன். இங்கிலாந்து நாட்டின் தலைநகரம் லண்டன் அருகே உள்ள கிரீன்விச் வழியாக இந்த வட்டமான் கோட்டை (வளையத்தை) வரைந்தால், அது கிரீன்விச் மெரிடியன். இதை பூஜ்ய மெரிடியன் என்று ஆங்கிலேயர்கள் நிறுவ, அதை உலகம் இன்று ஏற்றுக்கொண்டுள்ளது. பூகோளத்தின் மறுப்பக்கம், கிரீன்விச் மெரிடியனுக்கு நேர் எதிராக 180 டிகிரி தள்ளி, பசிபிக் பெருங்கடல் வழியாக வரையும் மெரிடியனுக்கு சர்வதேச தேதி கோடு என்று பெயர். ஒவ்வொரு நாளும் இங்கேயே தொடங்குவதாக உலக நாடுகள் அனைத்தும் ஏற்றுக்கொண்டுவிட்டன. ஆங்கிலேய (கிறுத்துவ) புத்தாண்டை ஜனவரி முதல் நாள் கொண்டாடும் போது, இந்த சர்வதேச தேதிக்கோட்டை மிக ஒட்டியுள்ள கிரிபாட்டி தீவுகளில் வானவேடிக்கை பட்டாசுகள் வெடித்து தொடங்குவதும் சில ஆண்டுகளாக வழக்கம். அடுத்தடுத்த அரை மணிக்கு ஒவ்வொரு நாடாக பட்டாசு வெடித்து தொலைக்காட்சியிலும் இணையத்திலும் நாம் சகஜமாக படங்களை காண்கிறோம். ஆனால் இங்கிலாந்து ஆட்சியிலும் அறிவியிலலிலும் வல்லரசாகுமுன் எது பூஜ்ய மெரிடியன்? 

பாரத நாட்டின் ஜோதிடர்கள், உஜ்ஜயின் மெரிடியனை இந்திய நாட்டின் மைய மெரிடியனாக, பூகக்ஷ்யா என்று கருதி அதற்கேற்ப சித்த்தாந்த நூல்களையும், கரணங்களையும், பஞ்சாங்ககளையும் படைத்தனர். ஆரியபடன் காலத்துக்கு முன்பே, அதாவது, சித்தாந்த பருவம் என்று நான் குறிப்பிட்ட கிமு ஐநூற்றுக்கும் கிபி ஐநூற்றுக்கும் இடைப்படட் காலத்தில் இந்த வழக்கம் தோன்றியிருக்கலாம்.

இந்த இலங்கை என்பது சரியாக விஷுவத் எனும் பூமத்தியரேகையின் மேல் இருப்பதாக கருதப்படும் தீவு. அந்த இடத்தில் தீவிருப்பதாக ஒரு விவரமும் எந்த நூலிலுமில்லை. அது ஒரு குறியீடு மட்டுமே. பூஜ்ய டிகிரி தீர்க ரேகையான உஜ்ஜயின் பூகக்ஷ்யா, பூஜ்ய டிகிரி அட்ச ரேகையான விஷுவத்தை சந்திக்கும் குறியிடம் இந்த இலங்கை.

ஏன் உஜ்ஜயின்? முக்கிய முக்தி நகரம், வரலாற்று புகழ் பெற்ற நகரம் என்பது ஒரு காரணம். ஆனால் காசி, அயோத்தியை, மதுரா, இந்திரபிரஸ்தா, காஞ்சிபுரம், ராஜகிரகம் என்று பல நகரங்களுக்கு இந்த தகுதியுள்ளது. ஜோதிடர் ஒத்துக்கொள்ளும்படி என்ன முக்கியத்துவம்?

உஜ்ஜயினி லங்காயா꞉ தச்சதுரம்ʼஶே ஸமோத்தரத꞉

என்னும் பதினாலாம் சுலோக வரியில் விளக்கம் காணலாம். லேட்டிட்யூட் எனும் அட்சரேகையில் பூமத்தியரேகை பூஜ்ய டிகிரி, துருவங்கள் தொண்ணூறு டிகிரி அல்லவா? இலங்கைமுதல் மேருவரை வடக்கே செல்லும் பூகக்ஷ்யாவில் சதுரம் (நாலில் ஒரு பங்கு) அதாவது இருபத்திரண்டரை டிகிரியில் உஜ்ஜயின் உள்ளது. டிராபிக் ஆஃப் கேன்சர் (Tropic of Cancer) எனும் 23-1/2 டிகிரி அட்சரேகை, உத்தராயணத்தினின் வட எல்லை, உஜ்ஜயின் நகரம் என்று கணித்தார் ஆரியபடர்.

சூரிய சித்தாந்ததில் வரும் ஒரே பூகக்ஷையின் நகரங்கள் ராக்ஷஸாலயம்(இலங்கை), தேவகுலசைலம்(மேரு), ரோஹிதகம், உஜ்ஜையினி, ஸந்நிஹிதஸஹ (குருக்ஷேத்திரம்). தவறான இலங்கையை பட்டியலிடுவது நோக்கத்தக்கது.

லல்லர் எழுதிய நூல் தரும் பட்டியல் இலங்கை, குமரி, காஞ்சி, பரநாட, கிருஷ்ணா நதி, ஷ்வேதஷைலம், வாத்ஸ்யகுல்மம், உஜ்ஜயினி, கர்கராத்,  ஆஷ்ரய, மாலவநகரம், சயுரிவ, ரோஹிதகம், குருக்ஷேத்திரம், ஹிமவான், மேரு. இந்த பட்டியலில் காஞ்சி இடம்பெருவது ஆச்சரியம். ஒரு முழு நதியும், மலைத்தொடரும் இடம்பெறுவதும் விசித்திரம்.

வேறு ஒரு நூல் தரும் பட்டியல் கரநகரம், சீதாருகேஹ, பாணாட, மிஸிதபுரி, தபர்ணி, சீதாவர, வாத்ஸ்யகுல்மம் (உதயணன் வாழ்ந்த கௌசாம்பி),  வனநகரி, அவந்தி என்னும் உஜ்ஜயினி, ஸ்தானேஷ, மேரு.

வேதாங்க ஜோதிடம் எனும் நூல் “காலவிதானஷாஸ்த்ரம்”, அதாவது “காலத்தை கற்பிக்கும் சாத்திரம்” என்று ஜோதிடக்கலையை வர்ணிக்கிறது. மேலும் “யோ ஜ்யோதிஷாம் வேத ஸ வேத யஞான்” என்ற சுலோகம் உள்ளது. இதன் பொருள், “எவன் ஜோதிடம் அறிவானோ அவனே வேதம் அறிவான்.” வருடம், அயனம், ருது, மாதம், பக்ஷம் (வளர்பிறை தேய்பிறை), திதி, நட்சத்திரம், முகூர்த்தம், நாடி, விநாடி யாவும் சரியாக கணித்து, தகுந்த நேரத்தில் வேள்வி, சந்தியாவந்தனம், பண்டிகை, திவசம், தர்ப்பணம், கட்டுமானம், உத்சவம், புதுமனை புகுதல், பட்டாபிஷேகம், திருமணம், பூனூல் அணிவித்தல், கல்வி ஆரம்பம், ஆகியவை தொடங்க வேண்டும். இன்றுபோல் பாரதம் முழுதும் ஒரே பூகக்ஷ்யத்தை (மெரிடியனை) நிர்ணயித்து, அந்த நேரத்தையே நாடு முழுதும் பயன்படுத்தவில்லை. அப்படி செய்ய இயந்திர கடிகாரங்கள், தொலைபேசி, தொலைதொடர்பு கருவிகள் சமீபகாலம் வரை இல்லை. உஜ்ஜயின் நகரத்திற்கு சூர்யோதயம், திதி, நட்சத்திரம், குரு பெயர்ச்சி, சனி பெயர்ச்சி, சங்கராந்தி போன்றவை கணித்து, அதன் கிழக்கே மேற்கே உள்ள ஊர் நாடு கிராம நகரங்களுக்கு ஏற்ற முகூர்த்த, நாடி, விநாடி கூட்டியோ கழித்தோ கணித்து கரணம், பஞ்சாங்கம் தயார் செய்து, கால நேர்மை பேணப்பட்டது.

சென்னை தீர்கரேகை (மதறாஸ் மெரிடியன்)

உஜ்ஜயின் தீர்கரேகையை கைவிட்டு, உடனே பாரத நாடு மக்கள் இன்றைய இந்திய மெரிடியனை (82-1/2 டிகிரி) தழுவவில்லை. மதறாசபட்டினம் என்னும் சென்னை நகரத்தில் நுங்கம்பாக்கத்தில் தொடங்கிய சென்னை வானியல் மையத்தில், கிபி 1792 கலியப்தம் 4893 மைக்கல் டாப்பிங், கிரீன்விச் மெரிடியனை மையமாக வைத்து, சென்னையின் தீர்கரேகையை கணித்தார். இதை கணித்த நினைவுத்தூண் சென்னை நுங்கம்பாகத்தில் அந்த மையத்தில் இன்றும் உள்ளது. லத்தீனம், தமிழ், தெலுங்கு, உருது, ஆங்கிலம் ஐந்து மொழிகளிலும் கல்வெட்டை பொறிவித்தார் டாப்பிங்.

மைக்கல் டாப்பிங் நிறுவிய நினைவு தூண்
நுங்கம்பாக்கம், சென்னை 

டாப்பிங் தூணில் கல்யப்தம் 4893, கிபி 1792 கல்வெட்டு

இதன்படி நேர நிர்ணயம் செய்த கிழக்கிந்தியா கம்பெனி, புனித ஜார்ஜ் கோட்டையில் சூரிய உதயம் அஸ்தமனம் இரண்டு நேரத்திலும் பீரங்கி செலுத்தி ஊருக்கு நேரம் தெரிவித்தனர் (ஆங்கிலத்தில் கன் டைம்). பிற்காலத்தில் மணிக்கூண்டுகளை கட்டினர். சுமார் ஐம்பதாண்டுகள் இது சென்னைக்கு மட்டுமே பொருந்தியது. 1850களில் ரயில் போக்குவரத்து தொடங்கிய பின், வெவ்வேறு ஊர்களில் கடிகாரங்கள் வெவ்வேறு நேரம் காட்டியதால், ரயில் வரவு, புறப்பாட்டில் குழப்பங்கள் தோன்றின. எல்லா ஊர்களுக்கும் ஒரே நேரத்தை பேணிணால் இதை தவிர்க்கலாம், பிரிக்கப்படாத பாரதம் முழுக்க ஒரே ரயில் அட்டவணை தயாரிக்கலாம் என்று ரயில் நிர்வாகம், அரசு முடிவெடுத்து, மதறாஸ் மெரிடியனை, சென்னையின் நேரத்தை பாரத நாட்டு மைய நேரமாக அறிவித்தது.

உஜ்ஜையினியில் பாய்ந்த கால ஓடை, சில வருடங்கள் சென்னையிலும் பொசிந்தது.

படங்கள்

1. மேரு மலையும் கண்டங்களும் - சாக்கோட்டை ர.விஸ்வநாதன், ஓவிய ஆசிரியர், சென்னை கல்லூரி, ஆவடி

2. யவகோடி, ரோமக, சித்தபுர வரைபடம் - சானக்கிய நீதி யூட்யூப் வீடியோ

ஆதார நூல்கள் / செவிவழி கேள்வி

1. “ஆரியபடீயம்”, ஸ்ரீ சாரத கல்வி கழகம், 1974, கே.வி.சர்மா, கே.சி.சுக்லா
2. ஒலியின் வேகம் அறிய மதறாஸில் நடத்திய பரிசோதனைகள், ஜெ. கோல்டிங்காம் (Experiments for Ascertaining the velocity of Sound, at Madras in the East Indies, J. Goldingham, 1823)
3. ஸ்ரீராம் வெங்கடகிருஷ்ணன் கல்லூரி சாலை மரபு நடை, ஆகஸ்ட் 2014.

ஜோதிடம்/வானியல் கட்டுரைகள்

1. வராகமிஹிரரின் கிரகண சான்று
2. வராகமிஹிரரின் அகத்தியர் துதி
3. சில விண்ணியல் ஸ்லோகங்கள் – பொருள் விளக்கம் 
4. ஹேவிளம்ப புத்தாண்டு - சில விண்ணியல் குறிப்புகள்
5. தமிழ் புத்தாண்டு - சித்திரா பௌர்ணமி
6. ஆரியபடன் - ஒரு கட்டுரை
7. பண்டை நாகரீகங்களின் வானியலும் கணிதமும் (காணொளி)

சென்னை கட்டுரைகள்

1. சென்னை - இந்தியாவின் முதல் நவீன நகரம் (ஆங்கிலத்தில்)

2. சென்னை நகரத்து நூலகங்கள்